6.Matematika

Pengertian Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah bilangan yang berfungsi untuk menyederhanakan  penulisan dan penyebutan suatu bilangan yang memiliki faktor-faktor perkalian yang sama. Contoh: 3x3x3x3x3=… atau 7x7x7x7x=…

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti ini biasa disebut sebagai perkalian berulang. Bayangkan jika yang dikalikan angkanya sangat banyak, maka kita pun juga akan sangat ribet dalam menulisnya karena sangking banyaknya untuk satu kali bilangan perkalian tersebut. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan notasi angka bilangan berpangkat.  Contoh:

3x3x3x3x3 ini dapat kita ringkas menggunakan bilangan berpangkat menjadi 35

8x8x8x8x8x8x8x8x8x8 dapat diringkas dengan bilangan berpangkat menjadi 810

Cara membacanya: 35    : Sepuluh pangkat 5Baca Juga :   Simpangan Baku

                                   810 : Delapan pangakt 10

Pangkat diatas berfungsi untuk menentukan jumlah faktor yang di ulang.

Rumus bilangan berpangkat adalah  “an=a×a×a×a…sebanyak n kali“.

Jenis – Jenis Bilangan Berpangkat

Ada beberapa jenis bilangan berpangkat yang paling sering dibahas, yaitu: bilangan berpangkat positif (+), bilangan berpangkat negatif (-) dan bilangan berpangkat nol (0).

  1. Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan berpangkat positif adalah bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen positif. Apa itu eksponen? eksponen ialah penyebutan lain dari pangkat. Bilangan berpangkat positif memiliki sifat-sifat tertentu, yang mana bilangan tersebut terdiri dari a, b, sebagai bilangan real dan m, n, yang merupakan bilangan bulat positif. Ada beberapa sifat-sifat bilangan berpangkat positif yaitu sebagai berikut:

  1. am x an = am+n
  2. am : an = am-n , untuk m>n dan b ≠ 0
  3. (am)n = amn
  4. (ab)m = am bm
  5. (a/b)m = am/bm , untuk b ≠ 0

Sekarang kita sempurnakan pengetahuan kita dengan langsung melihat kecontoh soal berikut:

2. Bilangan Berpangkat Negatif

Selanjutnya adalah pengertian bilangan berpangkat negatif yaitu bilangan yang memiliki pangkat atau eksponen negatif (-). Adapun sifat-sifat bilangan berpangkat negatif yaitu:

Apabila a∈R, a ≠ 0, dan n ialah bilangan bulat negatif, jadi:

Gambar sifat Bilangan Berpangkat Negatif
Gambar sifat Bilangan Berpangkat Negatif

Contoh soal:

1. Tentukan dan nyatakan dengan pangkat positif bilangan berpangkat berikut ini:

jawab:  

2 negatif.png

2. Nyatakan dengan pangkat negatif bilangan berpangkat berikut ini   :

3. Bilangan berpangkat Nol (0)

Sahabat rumusbilangan.com, selain bilangan berpangkat positif dan bilangan berpangakt negatif diatas, ternyata dalam ilmu matematika juga ada bilangan berpangkat nol (a). Untuk itu yuk mari kita pelajari lebih dalam.

Sebelumnya kita telah mengetahui bahwa sifat-sifat bilangan berpangkat, yaitu:

an.png
an2.png

  . Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat positif dapat tersebut maka kita peroleh: .

an3.png

Sehingga sifat untuk bilangan berpangkat nol (0) ialah “Apabila a adalah bilangan riil dan a tidak sama dengan 0, maka “

Untuk lebih jalas nya yuk kita simak soal-soal berikut:Baca Juga :   Mengenal Komposisi Fungsi Mulai Dari Pengertian, Sifat, Bentuk dan Contoh Soalnya Lengkap

Sederhanakan bilangan berpangkat tersebut ini:

bil pangkat nol.png

Jawab:

nol jawab.png

Demikianlah pembahasan kita mengenai bilangan berpangkat, sekarang kita lanjutkan ke pembahasan yang ke dua yaitu Bentuk Akar, yuk tengok kebawah:

Pengertian Bentuk Akar

Bentuk akar Adalah akar dari suatu bilangan-bilangan yang hasilnya bukan termasuk bilangan rasional (bilangan yang mencakup bilangan cacah, bilangan prima, dan bilangan-bilangan lain yang termasuk) atau bilangan irasional (yaitu bilangan yang hasil baginya tidak pernah berhenti).

Bentuk akar yaitu bentuk lain untuk menyatakan suatu bilangan yang berpangkat. Bentuk akar termasuk kedalam bilangan irasional yang mana bilangan irasional  tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat a dan b ≠ 0. Bilangan bentuk akar adalah bilangan yang terdapat dalam tanda √ yang disebut sebagai tanda akar. 

Beberapa contoh bilangan irasional didalam bentuk akar yaitu √2, √6, √7, √11 dan lain-lain. Sedangkan √25 bukanlah bentuk akar karena √25 = 5  (5 adalah bilangan rasional) sama saja angka 25 bentuk akarnya adalah √5.

Simbol akar “√” pertama kali dikenalkan oleh matematikawan asal Jerman yaitu Christoff Rudoff, di dalam bukunya yang berjudul Die Coss. Simbol tersebut dipilih karena mirip dengan huruf ” r ” yang diambil dari kata “radix”, yang merupakan bahasa latin untuk akar pangkat dua.

Sebagaimana bilangan berpangkat yang memiliki beberapa sifat-sifat, Bentuk akar pun juga memiliki sifat-sifat, yaitu:

  1. √a2 = a
  2. √a x b = √a x √b : a ≥ 0 dan b ≥ 0
  3. √a/b = √a/√b dan b ≥ 0

Atau bisa dilihat gambar dibawah:

Gambar Sifat-sifat Bentuk Akar
Gambar Sifat-sifat Bentuk Akar

Contoh Soal Bentuk Akar

contoh soal bilangan pangkat

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya adalah:

ax^2 + bx + c = 0

Punya PR yang gak ngerti? Yuk tanya di Forum StudioBelajar.com

a \neq 0 

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta  .Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:
Logika Matematika
Penjumlahan dan Perkalian Trigonometri

Penyelesaian atau pemecahan dari sebuah persamaan ini disebut sebagai akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar merupakan nilai dari variabel x yang memenuhi persamaan tersebut. Ketika nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan akan menghasilkan nilai nol.

Akar-akar Persamaan Kuadrat

ax^2 + bx + c = 0

Ada tiga metode dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat  yaitu:

Pemfaktoran

Metode ini mudah digunakan jika akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel model persamaan kuadrat (PK) dan berbagai cara pemfaktorannya:

persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

Saat menggunakan metode ini, pertama harus mengetahui terlebih dahulu model PK yang akan diselesaikan. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran bisa dilakukan dalam bentuk sesuai dengan yang ada di kolom tabel di atas. Untuk mendapatkan nilai p, q, m dan n kalian harus memahami cara memfaktorkan suatu bilangan.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

ax^2 + bx + c = 0

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika koefisien a dibuat agar bernilai 1. PK dalam bentuk  diubah bentuk menjadi persamaan:

(x + p)^2 = q
x^2 + bx + c = 0

Dengan p dan q adalah konstanta serta x adalah variabel. Nilai dari konstanta p dan q dari persamaan  didapatkan dengan cara:

p = \frac{1}{2}b
q = (\frac{1}{2}b)^2 - c

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

(x + p)^2 = q
(x + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c
x^2 + bx + (\frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - c
x^2 + bx + c = 0

Rumus abc

ax^2 + bx + c = 0

Metode rumus abc ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar-akar persamaan kuadrat  didapatkan dari rumus abc berikut:

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Sehingga, akar-akarnya adalah

x_1 = \frac{- b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

ax^2 + bx + c = 0

Jenis akar-akar persamaan kuadrat  dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

D = b^2 - 4ac

Sehingga rumus abc menjadi:

x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}
( \sqrt{D} )
ax^2 + bx + c = 0

Tanda akar diskriminan  dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK  adalah:

  • Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
  • Jika D > 0 maka akar-akarnya real () dan berbeda ().
  • Jika D = 0 maka akar-akarnya real () dan sama atau kembar ().

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

ax^2 + bx + c

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan  dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}
\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

  • Penjumlahan akar-akar .
  • Perkailan akar-akar .
x_1 + x_2
x_1 \cdot x_2

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam () dan (). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan:

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Suatu persamaan kuadrat baru dapat dibentuk jika diketahui nilai dari akar-akarnya. Hal tersebut dapat dilakukan dengan memasukan atau mensubstitusi nilai dari akar-akar yang telah diketahui kedalam persamaan

(x - x_1)(x - x_2)

atau

x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 . x_2)

Suatu persamaan kuadrat baru juga dapat dibentuk walaupun tidak ada diketahui nilai dari akar-akarnya. Dengan syarat, akar-akar tersebut memiliki hubungan atau relasi dengan akar-akar dari PK yang lain.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Pembahasan

Contoh Soal 1

x^2 - 4x - 6 = 0

Persamaan kuadrat dari  mempunyai akar-akar m dan n dengan ketentuan m < n. Tentukan nilai dari n – m.

Pembahasan:

x^2 - 4x - 6 = 0
(x + p)^2

Soal ini dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat   yang dirubah menjadi  . Dimana:

p = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2}(-4) = -2

q = (\frac{1}{2}b)^2 - c = (\frac{1}{2}b)^2 - c

Kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan

(x + p )^2 = q
(x - 2)^2 = 10
(x - 2) = \pm \sqrt{10}
x = 2 \pm \sqrt{10}

Didapatkan akar-akarnya dengan syarat m < n adalah

m = 2 - \sqrt{10}
n = 2 + \sqrt{10}

Maka,

n - m = 2 + \sqrt{10} - (2 - \sqrt{10})
= 2 + \sqrt{10}- 2 + \sqrt{10}
= 2\sqrt{10}

Contoh Soal 2

x^2 - 2x - 5 = 0
(p^2 - q^2)^2

Suatu persamaan kuadrat   memiliki akar-akar p dan q. Tentukan nilai dari  .

Pembahasan :

x^2 - 2x - 4 = 0

Berdasarkan persamaan  diketahui bahwa:

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{2} = 1
p . q = \frac{c}{a} = \frac{-4}{2} = -2

Sehingga diperoleh

(p^2 - q^2)^2 = ((p + q)(p - q))^2
= (p + q)^2 . (p - q)^2

= (p + q)^2 . (p^2 + q^2 - 2pq)
=(p + q)^2 . ((p + q)^2 - 2pq + 2pq)
= (1)^2 . ((1)^2 - 2(-2) - 2(-2))
= (1 + 4 + 4) = 9

Contoh Soal 3

2x^2 - 6x + 3 = 0

Suatu persamaan kuadrat   memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar (p + q) dan (2pq).

Pembahasan :

2x^2 - 6x + 3 = 0

Berdasarkan persamaan  diketahui bahwa :

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{2} = 3
p \cdot q = \frac{c}{a}= \frac{3}{2} = 1,5

Sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat baru adalah :

x_1 = (p + q) = 3
x_2 = 2pq = 2(1,5) = 3

Persamaan kuadrat baru diperoleh :

(x - x_1)(x - x_2)
(x - 3)(x - 3)
x^2 - 6x + 9 = 0

 atau 

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

  1. Integral Parsial
  2. Fungsi Kuadrat
  3. Pengertian Integral

)